Sciogli il burro in un pentolino e lascialo intiepidire. In una tazza, sciogli il lievito nel latte tiepido, mescolando con un cucchiaino finché non sarà completamente disciolto. In una grande ciotola, versa la farina, lo zucchero, l'uovo e il burro fuso tiepido. Inizia a impastare con le mani, unendo poco alla volta il latte con il lievito. Quando l'impasto inizia a prendere forma, aggiungi il sale e continua a lavorare energicamente sul piano di lavoro fino a ottenere un panetto liscio ed elastico che non si attacca alle dita. Metti l'impasto in una ciotola leggermente unta, copri con pellicola e lascia lievitare in un luogo tiepido e senza spifferi per almeno 3 ore, fino a quando non sarà raddoppiato.

Mondate le cipolle, tagliatele a fettine sottili come se fossero mezzelune. In una padella antiaderente, scalda un filo d'olio extravergine e fai appassire le cipolle a fuoco medio-basso per circa 10 minuti, mescolando di tanto in tanto, finché non diventano morbide, traslucide e profumate, senza farle colorare troppo. Nel frattempo, metti le 3 uova in un pentolino, coprile con acqua fredda e porta a bollore. Da quando l'acqua bolle, calcola 9 minuti di cottura, poi scolale e passale sotto l'acqua fredda per fermare la cottura. Sguscia le uova, mettile in una ciotola e schiacciale bene con una forchetta. Unisci le cipolle appassite, condisci con sale e pepe nero a piacere, mescola bene e metti in frigorifero a raffreddare.

Quando l'impasto è ben lievitato, trasferiscilo su un piano leggermente infarinato. Dividilo in porzioni da circa 140 g l'una, formando delle belle palline lisce. Con il palmo della mano, schiaccia delicatamente ogni pallina in un disco spesso circa mezzo centimetro. Al centro di ogni disco, metti un bel cucchiaio di ripieno freddo. Richiudi portando i bordi verso il centro sopra il ripieno, pizzicandoli bene per sigillare e formando un fagottino allungato. Sistema i pirozhki su una leccarda foderata con carta forno, lasciando un po' di spazio tra uno e l'altro.

In una ciotolina, sbatti il tuorlo con un cucchiaio di latte fino a ottenere un composto liscio. Con un pennello da cucina, spennella delicatamente la superficie di ogni pirozhki. Inforna in forno statico preriscaldato a 200°C nel ripiano centrale per 20 minuti, finché non saranno belli gonfi e dorati. Sforna e lascia intiepidire su una gratella per 10 minuti prima di servire, così la crosta rimane croccante.