Monda e trita finemente la cipolla, la carota e il sedano. In una pentola capiente, scalda un bel filo d'olio extravergine con lo spicchio d'aglio intero. Quando l'aglio profuma, aggiungi il trito di verdure e fai rosolare a fuoco medio per almeno 10 minuti, finché non si ammorbidiscono e diventano dorate. Aggiungi il rosmarino tritato e mescola.

Elimina il budello dalla salsiccia e spezzettala direttamente nella pentola con le verdure. Sala, pepa e rosola la salsiccia per qualche minuto, sfaldandola bene con un mestolo. Sfuma con il vino rosso e lascia evaporare completamente. Aggiungi l'acqua calda e prosegui la cottura a fuoco dolce per circa 10 minuti, finché la salsiccia non risulta morbida e ben cotta. Spegni il fuoco, elimina lo spicchio d'aglio e tieni da parte il ragù.

In un pentolino, scalda il latte a fuoco dolce, senza farlo bollire. In un altro pentolino, sciogli il burro. Versa la farina nel burro fuso e mescola energicamente con una frusta per qualche minuto, fino a ottenere un roux dorato e profumato. Aggiungi poco alla volta il latte tiepido, continuando a mescolare con la frusta per evitare i grumi. Cuoci a fuoco dolce, mescolando spesso, finché la besciamella non si sarà addensata bene. Spegni il fuoco, unisci il Parmigiano grattugiato e mescola fino a ottenere una crema liscia e vellutata. Sala se necessario.

Lava e spunta le zucchine, poi tagliale per il lungo a fette di circa mezzo centimetro. Scalda bene una griglia o una piastra. Adagia le fette di zucchina, sala leggermente e grigliale per 2-3 minuti per lato, finché non sono tenere e segnate dalle righe della griglia. Toglile dal fuoco e mettile da parte.

Prendi una teglia rettangolare da forno (circa 20x30 cm). Stendi sul fondo un primo velo di crema al Parmigiano. Adagia sopra uno strato di sfoglie di lasagna fresca, ricoprile con altra crema, poi distribuisci uno strato di ragù bianco e uno di zucchine grigliate. Spolvera con un po' di Parmigiano grattugiato. Prosegui alternando gli strati in questo ordine: sfoglie, crema, ragù, zucchine, Parmigiano. Termina con uno strato finale di crema, un ultimo velo di ragù e una generosa spolverata di Parmigiano grattugiato.

Inforna le lasagne in forno statico preriscaldato a 200°C per circa 20 minuti, finché la superficie non è ben dorata e croccante. Sforna, lascia intiepidire per 5 minuti per farle assestare, poi taglia a porzioni e servi ancora calde.